La teoria di Sturm-Liouville (S-L) emerge come ponte matematico tra le leggi di conservazione fisiche — che governano fenomeni come corde vibranti e trasmissione elettrica — e il linguaggio formale degli operatori lineari. Applicando la seconda legge di Newton a un elemento infinitesimale $\Delta x$ e utilizzando il metodo della separazione delle variabili, trasformiamo equazioni alle derivate parziali (PDE) specifiche in un quadro generale di equazioni differenziali ordinarie (ODE): $(p(x)X')' - q(x)X + \lambda r(x)X = 0$.
La fisica del moto: Dalle corde alle equazioni
La legge di Newton, applicata all'elemento $\Delta x$ della corda, afferma che la forza esterna netta, dovuta alla tensione agli estremi dell'elemento, deve essere uguale al prodotto della massa dell'elemento e dell'accelerazione del suo centro di massa: $\rho \Delta x u_{tt}(\bar{x}, t)$.
Risolvendo la tensione $T$ nelle componenti orizzontale $H$ e verticale $V$ (come mostrato in Figura 10.B.1), stabiliamo l'equilibrio e il moto:
- Equilibrio orizzontale: $T(x + \Delta x, t) \cos(\theta + \Delta \theta) - T(x, t) \cos \theta = 0$ (che produce una $H$ costante).
- Moto verticale: $\frac{V(x + \Delta x, t) - V(x, t)}{\Delta x} = \rho u_{tt}(\bar{x}, t)$, che porta alla relazione del gradiente $V_x(x, t) = \rho u_{tt}(x, t)$.
- Propagazione dell'onda: Sostituendo $V(x, t) = H(t) \tan \theta \approx H(t) u_x(x, t)$ si ottiene $H u_{xx} = \rho u_{tt}$, ovvero l'equazione standard equazione d'onda per una dimensione spaziale: $a^2 u_{xx} = u_{tt}$, dove $a^2 = \frac{T}{\rho}$ è la velocità dell'onda.
L'equazione del telegrafo e generalizzazione
I sistemi reali sono raramente ideali. Includono una forza di smorzamento viscoso ($-c u_t$) e una forza elastica di richiamo ($-k u$). Questo produce l' equazione del telegrafo:
$$u_{tt} + c u_t + k u = a^2 u_{xx} + F(x, t)$$
L'equazione del telegrafo governa anche il flusso di tensione o corrente in una linea di trasmissione (da cui il nome); in questo caso i coefficienti sono legati ai parametri elettrici della linea. Estendendola a dimensioni superiori otteniamo $a^2(u_{xx} + u_{yy}) = u_{tt}$ oppure $a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) = u_{tt}$.
L'origine dell'operatore S-L
Quando applichiamo la separazione delle variabili ($u = X(x)T(t)$) a un'equazione generalizzata come $r(x) u_t = (p(x) u_x)_x - q(x) u$, otteniamo un rapporto uguale a una costante di separazione $-\lambda$:
Questo impone al componente temporale la forma $T' + \lambda T = 0$ e al componente spaziale la forma fondamentale S-L:
$$(p(x) X')' - q(x)X + \lambda r(x)X = 0$$